Java-Seminar 1999: Christian Anders, Markus Kupich

Das Keplerproblem, die Bewegung im Gravitationsfeld

Übersicht:

1. Grundlagen: Kepler- und Gravitationsgesetze, Bewegungsgleichung

2. Numerische Lösung: Runge-Kutta-Algorithmus

3. Setzen von Startbedingungen

4. Interaktion mit dem Applet

Planetenbewegung im Sonnensystem
eine astronomische Spezialität: die Trojaner
selbstdefinierte Systeme
5. Literatur 

1. Grundlagen:

Motivation: Schaffung einer Oberfläche zum interaktiven Kennenlernen und Erforschen der Bewegung im Gravitationsfeld.

Die 3 Keplergesetze (von Johannes Kepler durch Auswertung der Beobachtungen von Tycho Brahe, I+II in Astronomia nova, 1609)

I. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte

II. Der Fahrstrahl eines Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
(<=> Drehimpulserhaltung)

III. (in Harmonices mundi, 1619)
a³/T²=const (näherungsweise) exakt: 
a: große Halbachse, T: Umlaufzeit

Gravitationsgesetz (Newton, 1687):

F = -GMm/r²; F = ma

Gravitationsbeschleunigung des Körpers i durch Feld der Anderen:

Übergang zur Phasenraumdarstellung: als unabhängige Variablen
zusammengefasster Vektor: 

zu integrierende Gleichung: (*)


2. Numerische Lösung

einfache Rekursion nach Euler:

Verbesserung mit Runge Kutta Algorithmus (s. Press et al., Numerical Recipes in Pascal):

Gesamter Integrationsschritt:

t kommt in zu lösender Gleichung (*) nicht explizit vor.

Berechnung für alle Körper im System.

Weitere Verbesserung: adaptive Schrittweite:
Höherer Rechenaufwand bei nahen Begegnungen (hohe Beschleunigung nach Newton)
=> Darstellung wird langsamer, wenn sich Körper nahekommen
Real werden sie schneller (Kepler-II)
=>Unrealistisch!
"Realzeitdarstellung" durch konstante Darstellungsschrittweite möglich, die größer als Rechenzeit der Zwischenschritte sein muss. Unproblematisch auf schnellen Rechnern:-)


3. Setzen von Startbedingungen

Idee: Benutzer soll ohne selbst rechnen zu müssen Planeten "starten" können.
Kreisbahn wird vorgegeben
Bedingung: Zentripetalkraft der Kreisbewegung wird von Gravitation geliefert.

falls m<<M. (**)
Beide Objekte bewegen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt, der für vernachlässigbare Planetenmasse fast die Sternposition selber ist.

- Korrektur der "Planeten"geschwindigkeit für Massen gleicher Größenordung für m ->M

(***)
Begründung dieser Korrektur:
Die "dynamische" Masse m im Term der Zentripetal-Kraft auf der linken Seite von (**) muss durch die reduzierte Masse μ=mM/(m+M) und v durch die relative Geschwindigkeit zwischen Stern und Planet ersetzt werden. Die Massen in der Gravitationskraft auf der rechten Seite von (**) bleiben unverändert. Die Simulation beötigt jedoch die Geschwindigkeit im Schwerpunktssystem bzw. Inertialsystem. Weil im Schwerpunkssystem vm =-VM (vm für Planet und VM für Stern) gilt, ist v(Stern-Planet) = v(1+m/M). So ergibt sich:
mM v2(1+m/M)2/(r(m+M)) = GMm/r2, was man nach v im Schwerpunktssystem auflösen muss.
Die Geschwindigkeit des mitbewegten Sterns mit Masse M wird mit vertauschten Rollen von M und m korrigiert: "massespiegelbildlich" ist V = v·m/M, was in obiger Formel (***) gerade die beiden M im Zähler durch m ersetzt, während der Nenner unverändert bleibt. Die Geschwindigkeit des schweren Sterns ist dabei immernoch geringer als die des leichten Planeten.

Im Schwerpunktsystem gilt für den Abstand: mr = -MR,
mit mr für den Planeten und MR für den Stern, so dass die kleinere Masse den größeren Abstand hat.

- Einschuss tangential zur Gravitationskraft im Gegenuhrzeigersinn, also senktrecht zur Verbindungslinie zum Partner.

- Werden nacheinander Körper hinzugefügt, werden Kreisbahngeschwindigkeiten vektoriell addiert: als gesamte Anfangsgeschwindigkeit eines neuen Objektes wird die Vektorsumme aus den Kreisbahngeschwindigkeiten um alle bereits vorhandenen Objekte gebildet (z.B. in einem Doppel-Stern-System mit beiden Sternen nahe dem Schwerpunkt ist vPlanet=v(kreisförmiger Orbit um Stern 1) + v(kreisförmiger Orbit um Stern 2)).
Wird ein Objekt im Einflussbereich eines bereits vorhandenen hinzugefügt (wie der Mond zur Erde), muss die Geschwindgigkeit dieses bereits vorhandenen Objektes zur Kreisbahngeschwindigkeit des Neuen relativ zum Schwerpunkt mit dem vorhandenen Objekt vektoriell addiert werden. Auch die Geschwindigkeit des vorhandenen Objektes muss um den Vektor korrigiert werden, den es bei der Kreisbewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt mit dem neu Hinzugefügten hat.
Diese Prozedur ist dann anzuwenden, wenn ein neues Objekt in der "Potentialmulde" eines Vorhandenen hinzugefügt wird (s. Bild "Potentialgebirge" weiter unten).

Energie eines Körpers im Zweikörpersystem: (m << M) hier ohne Mitbewegungskorrekturen

- Gesamtenergie => Bahnform, große Halbachse a

Orbitalveränderung abhängig von Ort und Richtung der Beschleunigung

4. Interaktion mit dem Applet

Inneres Sonnensystem mit Zentrumswahl (helio- bzw. geozentrisch) und Zoom auf Erde-Mond-System, Hinzufügen eines Satelliten, Variation der Integrationsschrittweite, Neustart Aufbau und Zoom für ganzes Sonnensystem, innere Planeten entfernen.

Sonne (Bahn der Sonne ranzoomen) und ein Planet, anschieben, hinzufügen,

Sonne Jupiter Komet, zentrieren auf Jupiter + ranzoomen 


Trojanerbewegung.
Eingeschränktes Dreikörperproblem (näherungsweise analytisch lösbar): zwei "schwere" Körper der Massen M1 und M2und ein leichter der Masse m, wobei
M2 < 38,5%o(M1+M2) und m << (M1+M2)

Betrachtung zweckmässig im mitbewegten Koordinatensystem der Zentrallinie M1-M2
M1,M2 und m bleiben auf einem gleichseitigen Dreieck mit der leichten Masse m in einem der Lagrangepunkte L4 bzw. L5. Dies ist verwunderlich, da L4 bzw. L5 Maxima des mitrotierenden Potentials sind, von denen der Gradient alle Objekte, die nicht exakt an diesen Punkten sind, wegtreiben würde. Aber im rotierenden Potential gibt es noch die in der Potentialdarstellung nicht sichtbare Corrioliskraft, die die Trojaner auf stabile Bahnen um L4 bzw. L5 zwingt, während von den Langrangepunkten L1-L3 (auf der Verbindungslinie der beiden schweren Massen) alle Objekte tatsächlich auf instabilen Bahnen wegdriften.

Effektives Potential:

r ist auf Schwerpunkt bezogen

Theoretische Betrachtung s. Richard Greenberg und Donald Davis: 'Stability at potential maxima: The L4 and L5 points of the restricted three-body problem' in American Journal of Physics, 46, Vol 10, Oct. 1978

Ansicht im mitrotierenden Bezugsystem. In der englischen Anleitung ist unter [Trojan...] beschreiben wie man durch "Anstubsen" der Trojaner oder setzen von leichten Objekten in der Nähe der Lagrangepunkte L4 und L5 solche Spuren selber erzeugt.


Gelb: Sonne, weisser Punkt: Jupiter, magenta: gestörtes Objekt bei L4 (oben), blau, weiss, rot: Objekte gestartet in dieversen Abständen zum Lagrange Punkt L5. (unten)

Fiktives Doppelsternsystem mit inneren Planeten, Monden, Trojanern, Planeten des 2. Stern und äusseren Planeten. Testlauf war über längere Zeit "stabil".

System selber definieren: z. B. zwei Sterne gleicher Massen.

5. Literatur

Programm wird von C.A. weiterhin gepflegt.